Der WAHRIG nennt in dem Zusammenhang nur "sich bewerben um"als Wendung.
Aber zum Thema:
Die Beförderungsbewerbung landet in NRW bei der BR, das würde ich ganz formlos halten. Dem Sachbearbeiter oder der Sachbearbeiterin wird relativ egal sein, was da als Gedöns noch dranhängt.
Wenn man sich an einer anderen Schule um eine Beförderungsstelle beworben hat, könnte es aber sinnvoll sein, der dortigen Schulleitung derlei Informationen (also inkl. Lebenslauf) zusammen mit der Bitte um ein Kennenlerngespräch zu offerieren. Im Regelfall hat diese Schulleitung zwar einen internen Bewerber/eine interne Bewerberin im Auge, aber wird sicher froh sein zu erfahren, wer noch im Rennen ist (und vielleicht in Zweifel geraten, ob die hausinterne Bewerbung wirklich forciert werden sollte). Wenn es um eine Beförderung geht, bei der der schulfachliche Dezernent ein Wörtchen mitzureden hat (also bspw. A15), wäre es hier auch sinnvoll, diesen um ein Gespräch zu bitten.